السلسلة الرابعة
مجموعة تمارين متنوعة (8 دليل القوةي) بالتصميم الأنيق
في الرسم الموالي ABCD متوازي أضلاع.
- لتكن H و K المسقطين العموديين لـ D و B على التوالي على (AC).
- قارن المثلثين ADH و CBK.
- استنتج أن AH = CK.
- ليكن (DH) يقطع (AB) في M والمستقيم (BK) يقطع (DC) في N. قارن المثلثين AHM و CKN.
2) في المثلثين ADH و CBK نجد:
- AD = BC (ضلعان متقابلان في متوازي الأضلاع).
- HÂD = KĈB (زاويتان متبادلتان داخليا).
- المثلثان قائما الزاوية.
إذن المثلثان CBK و ADH متقايسان حسب الحالة الأولى من تقايس المثلثات القائمة.
3) في المثلثين AHM و CKN نجد:
- AH = CK (عناصر نظيرة).
- MÂH = NĈK (زاويتان متبادلتان داخليا).
- AĤM = CKN (زاويتان متقابلتان بالرأس).
إذن المثلثان AHM و CKN متقايسان حسب الحالة الأولى من تقايس المثلثات.
في الشكل الموالي ABC مثلث قائم الزاوية في A و AB = 4cm. منصف الزاوية ABC يقطع (AC) في M. المستقيم المار من C والعمودي على (BM) يقطعه في H.
- أثبت أن MBC مثلث متقايس الضلعين.
- قارن المثلثين ABM و HCM.
1) بما أن ABC مثلث قائم في A و AĈB = 30°، فإن MB̂C = 60°:2 = 30°. إذن MBC مثلث متقايس الضلعين لأن MB̂C = MĈB = 30°.
2) في المثلثين ABM و HCM:
- CM = BM (وتران متقايسان لأن MBC متقايس الضلعين في M).
- CM̂H = BM̂A (زاويتان متقابلتان بالرأس).
- [CH] هو نظير [BA]، فحسب الحالة الأولى من تقايس المثلثات القائمة، ABM و HCM متقايسان.
في الشكل التالي ABCD شبه منحرف متقايس الضلعين قاعدتاه [AB] و [CD].
- بيّن أن AE = BF.
- استنتج أن المثلثين AED و BFC متقايسان.
- بيّن أن OA = OB.
1) الرباعي ABFE له أضلاع متقابلة متوازية مثنى مثنى فهو متوازي أضلاع ومنه AE=BF.
2) في المثلثين AED و BFC القائمين:
- AD=BC (معطى).
- AE=BF (أثبت سابقا).
إذن المثلثان AED و BFC متقايسان.
3) بيّن أن [DA]∩[CB]={O}، بيّن أن OAD=OBC. المثلث OCD متقايس الضلعين إذن OD=OC. ونعلم أن AD=BC، وعليه OA+AD = OB+BC، إذن OA=OB.
ارسم مثلثا ABC متقايس الضلعين قمته الرئيسية A بحيث BC = 5cm, AB = 7cm.
- عين المنتصف I لـ [AC]. ابن النقطة D نظيرة B بالنسبة إلى I.
- بيّن أن الرباعي ABCD متوازي أضلاع.
- المستقيم المار من D والموازي لـ (AC) يقطع (BC) في E. بيّن أن الرباعي ADEC متوازي أضلاع.
- استنتج أن C منتصف [BE].
2) القطران [AC] و [BD] للرباعي ABCD يتقاطعان في منتصفهما I، إذن ABCD متوازي أضلاع.
3) في الرباعي ADEC، لدينا (AD)//(CE) و (DE)//(AC)، إذن ADEC متوازي أضلاع.
4) بما أن ABCD متوازي أضلاع فإن AD=BC. وبما أن ADEC متوازي أضلاع فإن AD=CE. نستنتج أن BC=CE. وبما أن B, C, E على استقامة واحدة، فإن C منتصف [BE].
ارسم مثلثا ABC متقايس الضلعين في A حيث BC = 4, AB = 6.
- [Ax) منصف الزاوية BÂC يقطع [BC] في I.
- قارن المثلثين BAI و CAI.
- العمودي على (AC) المار من C يقطع (Ax) في T. قارن المثلثين BAT و CAT.
2) في المثلثين BAI و CAI نجد:
- AB=AC (معطى)
- AI=AI (ضلع مشترك)
- BÂI=CÂI ([Ax) منصف الزاوية)
إذن المثلثان BAI و CAI متقايسان.
3) في المثلثين BAT و CAT نجد:
- المثلثان قائما الزاوية.
- AT=AT (وتر مشترك)
- AB=AC (معطى)
إذن المثلثان BAT و CAT متقايسان.
4) لدينا IC=IB و IB=IC ومنه (AI) هو الموسط العمودي للقاعدة [BC]، إذن TC=TB. ومنه T تنتمي إلى (AI). إذن A و I و T على نفس الاستقامة.